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六年级奥数解题指导(第1讲):分数的大小比较

admin 小学数学 2021-04-23 01:09:10 六年级数学奥数

 

  【前言】:
  这里讲解的教材是南京大学出版社出版的《数学奥赛天天练》,本书共55讲,是六年级一学年的奥数内容。本册教材一部分内容是同一版本低年级奥数内容的拓展和延伸,另一部分内容为新增的题型,重点拓展孩子的解题思路,扩大孩子的见识面,发散孩子的思维,向孩子渗透新的解题思想。
  对于奥数基础较好的孩子,应鼓励孩子坚持学习、勤于思考、灵活运用。其中部分专题的一些偏题,可以选做或不做,学习的关键不是会做几道习题,而是领悟每个专题介绍的数学思想和数学方法。
  奥数知识源于教材、高于教材,其学习内容与教材大致同步。在家自学时,可结合教材学习进度,按每周一讲的速度学习,对部分内容的先后顺序也可作适当调整。
  随着学习的深入,教程难度在逐步增大,建议家长让孩子在熟练掌握学校数学课程,且学有余力时,再进行奥数探究,切不可填鸭式教学。
  《奥赛天天练》第1讲《分数的大小比较》。
  比较两个分数的大小常用的方法是,先通分,把它们化为分子或分母相同的分数进行比较。对于一些特殊的分数,可以利用等差比较法、倒数比较法等特殊方法进行大小比较,更为简便。这部分内容在五年级已经初步学习,请查阅:
  【原创】五年级奥数解析(六十六)分数的大小(上)
  本讲继续学习比较分数的大小,在五年级学习的基础上适当延伸。
  《奥赛天天练》第1讲,模仿训练,练习1
  【题目】:
  将下列分数由小到大排成一列:
  (1)10/17、12/19、15/23、60/101;
  (2)2/3、4/7、3/11、4/15。
  【解析】:
  (1)仔细题中四个分数,它们的分子虽然比较大,但都是60的约数,可以通分把这四个分数化为同分子的分数进行比较:
  10/17=60/102、12/19=60/95、15/23=60/92、60/101=60/101
  因为:60/102<60/101<60/95<60/92,
  所以:10/17<60/101<12/19<15/23。
  (2)本题中四个分数的分子都比较小,把这四个分数化为同分子的分数进行比较更简便:
  2/3=12/18、4/7=12/21、3/11=12/44、4/15=12/45
  因为:12/45<12/44<12/21<12/18,
  所以:4/15<3/11<4/7<2/3。
  《奥赛天天练》第1讲,模仿训练,练习2
  【题目】:
  比较下列各题中分数的大小:
  (1)103/116,217/230,235/248;
  (2)680/791,432/543,768/879。
  【解析】:
  上面两小题,每题三个分数分子、分母之差都相等,可以用等差比较法,比较它们的大小:
  当两个分数的分子、分母之差相等时,如果两个分数都是真分数,分母较大的分数大;如果两个分数都是假分数,分母较小的分数大。
  所以:
  (1)103/116<217/230<235/248;
  (2)768/879>680/791>432/543。
  注:可以通过求出每个分数与1的差,对等差比较法进行证明。
  《奥赛天天练》第1讲,巩固训练,习题1
  【题目】:
  在4/5>7/□>1/2中,“□”里可以填写多少个整数?
  【解析】:
  解法一:分步通分,统一分子,求分母。
  对不等式4/5>7/□中的两个分数通分,使其分子相同,得:
  28/35>28/(4×□)
  要使4/5>7/□成立,4×□的积要大于35,则□里的整数必须大于等于9;
  又因为1/2=7/14,
  要使7/□>1/2,即7/□>7/14成立,则□里的数必须小于14;
  所以在4/5>7/□>1/2中,“□”里可以填9、10、11、12、13这5个整数。
  解法二:一次通分,统一分子,求分母。
  对不等式组4/5>7/□>1/2中的三个分数通分,使其分子相同,得:
  28/35>28/(4×□)>28/56
  则56>4×□>35,每一项都除以4得□里的数必须大于等于9且小于14。所以在4/5>7/□>1/2中,“□”里可以填9、10、11、12、13这5个整数。
  《奥赛天天练》第1讲,巩固训练,习题2
  【题目】:
  比较大小:
  (1)117/448、207/808;
  (2)218291/654321,152447/456789。
  【解析】:
  (1)题中两个分数都非常接近1/4,可根据这两个分数与1/4的差距,来比较这两个分数的大小:
  117/448=1/4+5/448;207/808=1/4+5/808
  因为5/448>5/808,所以117/448>207/808。
  (2)本题中两个分数都非常接近1/3,可根据这两个分数与1/3的差距,来比较这两个分数的大小:
  218291/654321=1/3+184/654321;
  152447/456789=1/3+184/456789。
  因为184/654321<184/456789,所以218291/654321<152447/456789。
  《奥赛天天练》第1讲,拓展提高,习题1
  【题目】:
  比较分数大小:
  (1)23/99、2323/9999,232323/999999;
  (2)12345×67890/12340×67895,36/37。
  【解析】:
  (1)先约分,再比大小:
  2323/9999=23×101/99×101=23/99,
  232323/999999=23×10101/99×10101=23/99,
  所以23/99=2323/9999=232323/999999。
  (2)先计算,再比大小:
  12345×67890=12340×67890+5×67890,
  12340×67895=12340×67890+5×12340,
  12345×67890>12340×67895,
  则12345×67890/12340×67895>1,36/37<1
  所以,12345×67890/12340×67895>36/37。
  《奥赛天天练》第1讲,拓展提高,习题2
  【题目】:
  比较下列4个算式的大小:
  1/11+1/33,1/12+1/29,1/13+1/25,1/14+1/21。
  【解析】:
  解法一:这四个算式的规律是第一个分数越来越小,第二个分数越来越大。可以分别比较两个加数缩小、扩大的多少,来比较算式的大小。
  因为1/11-1/12=1/11×12;1/29-1/33=4/29×33,
  29与33的积明显大于11与12的积的4倍,所以1/11×12>4/29×33,即1/11-1/12>1/29-1/33,所以1/11+1/33>1/12+1/29。
  同理可得:1/12+1/29>1/13+1/25,
  1/11+1/33>1/14+1/21>1/12+1/29。
  所以4个算式的大小是:
  1/11+1/33>1/14+1/21>1/12+1/29>1/13+1/25。
  解法二:先计算,再用倒数法比较。
  1/11+1/33=44/11×33=4/33,
  1/12+1/29=41/12×29=41/348,
  1/13+1/25=38/325,
  1/14+1/21=5/42。
  33/4=8+1/4;348/41=8+20/41;325/38=8+21/38;42/5=8+2/5。
  可以推出:325/38>348/41>42/5>33/4,
  所以:4/33>5/42>41/348>38/325,
  即;1/11+1/33>1/14+1/21>1/12+1/29>1/13+1/25。
 
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