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分类讨论在解决数学问题中的应用

admin 小学数学 2021-04-24 01:39:19 小学数学解题研究

 

  依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点。将数学对象分为不同种类,然后对划分的每一类分别进行研究与求解的方法,叫做分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的重要方法。解答分类讨论问题时,其基本方法和步骤是:先确定讨论的对象及范围,再确定分类标准(即标准统一,不重复、不遗漏),然后对所分类逐步进行讨论。获取阶段性结果,最后进行归纳小结,综合得出结论。下面,通过实例予以说明。 
   
  一、疑难问题 
   
  例1 学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个班(可以不参加)。问至少在多少个学生中,才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同? 
  分析与解:本题是一道以抽屉原理为背景的题目,但要构造“抽屉”与“物品”,则必须通过分类讨论。显然,所有的学生可以分为三大类:(1)不参加课外学习班的学生,只有一种情况(c04或用枚举法);(2)参加一门课外学习班的学生,共有四种情况(c14或用枚举法);(3)参加两门课外学习班的学生,共有六种情况(c24或用枚举法)。 
  于是,问题转化为至少将多少个物品放人11(1+4+6=11)个抽屉里,才能保证某个抽屉中有两个或两个以上物品。由抽屉原理易知至少需12个物品,即本题答案为12个学生。 
  在本题中,分类讨论的运用是将疑难问题转化为简单问题的关键。 
   
  二、繁杂问题 
   
  例2 数一数下图中有几个正方形? 
   
  分析与解:本题虽然几乎不需要任何知识,但学生解题时极易多数或漏数。其原因就在于他们没有进行分类讨论。图中正方形可分为四类:(1)单个的小正方形(1×1)16个;(2)四个小正方形拼成的正方形(2×2)9个;(3)九个小正方形拼成的正方形(3×3)4个;(4)十六个小正方形拼成的正方形(4×4)1个。因此,图中共有1+4+9+16=30(个)正方形。 
  从上述分析中不难发现,将一个繁琐的问题通过分类讨论,分成几个小问题。再各个击破,问题就容易解决了。 
   
  三、参数问题 
   
  例3 两根同样长的绳子,第一根剪去3/10米,第二根剪去3/10,哪根剩下的长? 
  分析与解:第一根绳子剪去3/10米,其值是固定不变的;第二根绳子剪去3/10,则跟绳子原长有关,即绳子原来越长,剪去的就越多。所以,必须分类讨论。 
  设绳子长为a米,不难得出a=l时,两绳减去一样多,是临界值。则:(1)01时,3a/10>3/10,第一根绳剪得少,剩下的较长。 
  这道题中,参变量(绳长)的取值会导致不同结果。由于绳长未知,只有对参变量的不同取值范围进行分类讨论,才能将问题说清楚。 
  对于这种含有参数的问题。或其他一些涉及数学概念与性质的问题,只有分类讨论才能充分考虑到各种可能,保证解题的完整。 
  诚然,在上述问题中,分类讨论发挥着重要且特殊的作用,决定着解题的思路和途径,若能灵活掌握运用这种思想方法,就可轻松而严谨地解题。

 

 
 
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